Arquimedes de Siracusa
287 AC em
Siracusa, Sicília
212 AC em
Siracusa, Sicília
O maior matemático do período helenístico e de toda a antiguidade, filho do astrônomo Fídeas, era
nativo de Siracusa, na Sicília. Há relatos de sua visita ao Egito, onde
inventou um sistema de bombeamento chamado Parafuso de Arquimedes,
em uso ainda hoje. As mais importantes contribuições de Arquimedes na Matemática
foram feitas no domínio daquilo a que agora chamamos "Cálculo
Integral" - teoremas sobre áreas e figuras planas e sobre volumes de
corpos sólidos. No livro de Arquimedes sobre "A esfera e o cilindro"
encontramos a expressão para a área da esfera (apresentando como sendo quatro
vezes a de um circulo máximo). A expressão de Arquimedes para a área de um
segmento parabólico (quatro terços da área de um triângulo inscrito com mesma base que o segmento da parábola e cujo
vértice é o ponto onde a tangente à parábola é paralela à base).
Em todos
estes trabalhos, Arquimedes combinou uma originalidade de raciocínio
surpreendente com uma mestria de técnica de cálculo e rigor na demonstração. É
característico desse rigor o "axioma de Arquimedes" e o uso correto
do método da exaustão para provar os resultados das suas integrações.
Arquimedes diferia da maior parte dos matemáticos gregos pela sua capacidade de
cálculo.
Há
indícios muito fortes de que em sua juventude, Arquimedes tenha estudado com os
sucessores de Euclides, em Alexandria. Com certeza ele era completamente
familiarizado com a Matemática lá desenvolvida, conhecendo pessoalmente os
matemáticos daquela região.
Mesmo tendo Arquimedes obtido fama
por suas invenções mecânicas, ele acreditava que a Matemática em sua forma mais
pura era a única coisa que valia a pena.
As conquistas de Arquimedes são de
tirar o fôlego. Ele é considerado por muitos historiadores como um dos maiores
matemáticos de todos os tempos. Ele chegou a aperfeiçoar um método de
integração que permitia calcular áreas, volumes e áreas de superfícies de
muitos corpos.
No primeiro volume de Sobre
a esfera e o cilindro Arquimedes
mostra que a superfície de uma esfera é quatro vezes a do grande círculo, acha
a área de qualquer segmento da esfera, mostra que o volume de uma esfera é dois
terços do volume do cilindro circunscrito, e que a superfície da esfera é dois
terços da superfície do cilindro circunscrito, incluindo-se as bases.
Em Medidas do círculo Arquimedes mostra que o valor exato de
situa-se entre 310/71 e 31/7. Ele
obteve este resultado circunscrevendo e inscrevendo um círculo com polígonos
regulares com 96 lados!
Há referências a outros trabalhos de
Arquimedes, que estão hoje perdidos. Pappus refere-se a um trabalho de Arquimedes
sobre poliedros semi-regulares e o próprio Arquimedes refere-se a um trabalho
sobre o sistema numérico proposto no Contador de areia. O Contador
de areia é um
trabalho memorável em que Arquimedes propõe um sistema numérico capaz de
expressar números até 8x1016 (em
notação moderna). Seu argumento é de que este número seria suficiente para
contar o número de grãos de areia do Universo. Bem, naturalmente Arquimedes
enfrentou o problema anterior: o tamanho do Universo. Quando cita resultados
acerca do tamanho do Universo, ele usa resultados de Euxodo, Fídias (seu
pai) e Aristarco.
O método de exaustão, utilizado por Eudóxio e depois por Arquimedes, é conhecido também por axioma de Arquimedes.
Trata-se de uma obra curta consistindo de
apenas três proposições. Está escrito na forma de uma correspondência com Dositeu de Pelúsio, um aluno de Conon de Samos. Na Proposição II,
Arquimedes mostra que o valor de π (pi) é maior
que 223⁄71 e menor que 22⁄7.
Este último valor foi usado como uma aproximação de π ao longo da Idade Média e ainda é usado quando um valor aproximado de π é suficiente.
Neste tratado endereçado a Dositeu,
Arquimedes obtém o resultado pelo qual ele mais se orgulhava, nomeadamente a
relação entre uma esfera e um cilindro circunscrito de mesma
altura e diâmetro. O volume é 4⁄3πr3 para a esfera, e 2πr3 para o cilindro. A
área superficial é 4πr2 para a esfera, e 6πr2 para o cilindro
(incluindo suas duas bases), onde r é o raio da esfera e do
cilindro. A esfera tem um volume que é dois terços do volume do cilindro
circunscrito. De forma similar, a esfera tem uma área que é dois terços da área
do cilindro circunscrito (incluindo as bases). A pedido do próprio Arquimedes, foram
colocadas sobre sua tumba esculturas destas duas figuras geométricas.
Arquimedes foi capaz de aplicar o método
da exaustão, que é uma forma primitiva de integração, para obter
uma vasta gama de resultados importantes, alguns dos quais chegaram até os dias
de hoje.
Arquimedes
morreu em circa. 212 A.C. durante a Segunda Guerra Púnica, quando forças
romanas sob o comando do General Marco Cláudio Marcelo capturaram a cidade
de Siracusa após um cerco de dois anos. Existem diversas versões sobre sua
morte. De acordo com o relato dado por Plutarco, Arquimedes estava contemplando um diagrama matemático
quando a cidade foi capturada. Um soldado romano ordenou que ele fosse conhecer
General Marcelo, mas ele se recusou, dizendo que ele tinha que terminar de
trabalhar no problema. O soldado ficou furioso com isso, e matou Arquimedes com
sua espada. Plutarco também oferece um relato menos conhecido da morte de
Arquimedes, que sugere que ele pode ter sido morto enquanto tentava se render a
um soldado romano. De acordo com essa história, Arquimedes estava carregando
instrumentos matemáticos, e foi morto porque o soldado pensou que fossem itens
valiosos. General Marcelo teria ficado irritado com a morte de Arquimedes,
visto que o considerava uma posse científica valiosa, e tinha ordenado que ele
não fosse ferido.
As últimas palavras atribuídas a
Arquimedes são "Não perturbe meus círculos" (em grego: μή μου
τούς κύκλους τάραττε),
uma referência aos círculos no desenho matemático que ele estaria estudando
quando perturbado pelo soldado romano. Esta citação é muitas vezes dada em Latim como "Noli turbare circulos
meos," mas não há nenhuma evidência confiável de que Arquimedes pronunciou
estas palavras e eles não aparecem no relato dado por Plutarco.
O túmulo de Arquimedes continha uma
escultura ilustrando sua demonstração matemática favorita, consistindo de uma esfera e um cilindro de mesma altura e diâmetro.
Arquimedes tinha provado que o volume e a área da superfície da esfera são dois
terços da do cilindro incluindo suas bases. Em 75 a .C, 137 anos
após sua morte, o orador romano Cícero estava trabalhando como questor na Sicília. Ele tinha ouvido histórias sobre o
túmulo de Arquimedes, mas nenhum dos moradores foi capaz de lhe dar a
localização. Após algum tempo, ele encontrou o túmulo próximo ao Portão de
Agrigentino em Siracusa, em condição negligênciada e coberto de arbustos.
Cícero limpou o túmulo, e foi capaz de ver a escultura e ler alguns dos versos
que haviam sido adicionados como inscrição.
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Matemático e físico, nascido em Siracusa. Formulou o princípio da
hidrostática, que tem o seu nome. Inventou vários aparelhos, entre os quais o
parafuso de Arquimedes (que é uma superfície helicoidal que roda o interior
de um tubo cilíndrico e serve para elevar líquidos ou transportar materiais
granulosos) e os espelhos mortíferos .
Efetuou um grande número de estudos na matemática e física, com especial
incidência na mecânica.
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Com o terceiro grande matemático
helenístico, Apolônio de Perga (250-205 a.C.), encontramo-nos de novo
inteiramente na geometria tradicional. Escreveu um tratado sobre a elipse, a
parábola e a hiperbole, introduzidas como secções de um cone circular e, vai
até à discussão das evolutas de cônicas. Conhecemos estas cônicas pelos nomes
encontrados em Apolônio, referem-se a certas propriedades das áreas dessas
curvas.
2.3.1- ARQUIMEDES
E O MÉTODO DA EXAUSTÃO
O método de exaustão, utilizado por Eudóxio e depois por Arquimedes, é conhecido também por axioma de Arquimedes.
Coube a Arquimedes a primeira demonstração rigorosa da lei estabelecida
entre a área do círculo e o comprimento da circunferência, famoso problema da
antiguidade, conhecido como a quadratura do círculo, problema este que vai dar
origem ao desenvolvimento da teoria da integração.
A determinação de áreas de figuras
planas fazia-se, na matemática grega, por comparação com áreas conhecidas, como
por exemplo a área do quadrado. Quadratura era o nome que se
dava a essa determinação. Medir uma figura geométrica, para os geómetras
gregos, não era encontrar um número, mas sim uma figura conhecida com o mesmo
comprimento, área ou volume da primeira. Nessa perspectiva, calcular a medida de
uma área era um falso problema. O que interessava aos Gregos, no quadro das
suas matemáticas, era determinar a relação entre duas áreas. A quadratura do
círculo insere-se nessa preocupação. Este problema ficou famoso porque a sua
solução, que não existe, obcecou não só os Gregos como também matemáticos de
todos os tempos, profissionais e amadores. Só em 1882, quando Ferdinand von
Lindemann (1852-1939) demonstrou que pi é um número transcendente, ficou
provado que a quadratura do círculo é impossível.
Para calcular a área do círculo,
Arquimedes considera polígonos inscritos de número de lados 6, 12,...96. Faz o
mesmo com polígonos circunscritos e consegue assim mostrar que a área do
círculo está entre dois valores determinados, ou seja, é menor que a dos polígonos
circunscritos e maior que a dos polígonos inscritos.
O resultado de Arquimedes, descrito na
matemática actual equivale a considerar que:
O método da exaustão é o fundamento
de um dos processos essenciais do cálculo infinitesimal. No entanto, enquanto
que no cálculo se soma um número infinito de parcelas (no caso do círculo
teríamos um polígono com um número infinito de lados), Arquimedes nunca
considerou que as somas tivessem uma infinidade de termos. Para poder definir a
soma de uma série infinita irá ser necessário desenvolver o conceito de número
real que os gregos não possuíam. Não é pois correto falar do método de
Arquimedes como um processo geométrico de passagem ao limite. A noção de limite
pressupõe a consideração do infinito que esteve sempre excluído da matemática
grega, mesmo em Arquimedes. Mas, no entanto o seu trabalho foi, provavelmente,
o mais forte incentivo para o desenvolvimento posterior das ideias de limite e
de infinito. De fato, os trabalhos de Arquimedes constituem a principal fonte
de inspiração para a geometria do séc. XVII que desempenhou um papel importante
no desenvolvimento do cálculo infinitesimal.
Apesar da grande originalidade dos
trabalhos de Arquimedes, ele não teve discípulos diretos na Grécia. Mas os
matemáticos árabes interessaram-se pelo método da exaustão desde o séc. IX. Os
irmãos Bana Musa usam-no pela primeira vez na literatura islâmica. O seu
discipulo Thabit ibn Qurra (836-901) traduz “A esfera e o cilindro” de
Arquimedes e na sua obra “Livro sobre a medida da secção cónica” mostra dominar
perfeitamente o método
Matemática para todos, isso é que precisamos.
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