Bonaventura Cavalieri

Cavallieri, Bonaventura(1598-1647)     Matemático Italiano. Foi professor da Universidade de Bolonha. Os seus estudos de geometria suscitaram a admiração de Galileu, que lhe chamou "álter Arquimedes".

2.4.1- Os princípios de Cavalieri para cálculos de áreas e volumes

          Bonaventura Cavalieri nasceu em Milão em 1.598. Foi aluno de Galileu e atuou como professor da Universidade de Bolonha de 1.629 até 1.647, ano de sua morte.

          A grande contribuição de Cavalieri à Matemática é a tratada Geometria indivisibilibus de 1.635. Neste tratado é apresentado o seu método dos indivisíveis, cuja motivação direta se encontra nas tentativas de Kepler de achar certas áreas e certos volumes.

          No entanto, é um pouco difícil de descobrir o que ele entendia por “indivisível”. Tudo indica que um indivisível de uma porção plana dada é uma corda dessa porção e o indivisível de um sólido é uma secção desse sólido. Considera-se que uma porção plana seja formada por infinitas cordas paralelas. Então, argumentava Cavalieri, fazendo deslizar cada um dos elementos do conjunto das cordas paralelas de uma porção plana dada ao longo de seu próprio eixo, de modo que as extremidades das cordas ainda descrevam um contorno contínuo, a área da nova porção plana é igual à original, uma vez que ambas são formadas pelas mesmas cordas.

          Um procedimento análogo pode ser aplicado a um sólido, formado por secções planas e paralelas. Que fornecerá um novo sólido com mesmo volume. Uma ilustração deste resultado pode ser demonstrada utilizando duas pilhas de moedas de mesmo formato: a primeira pilha fazendo um cilindro reto e a segunda com suas laterais deformadas:

[Figura 1: sólidos com moedas]

          Obviamente que os volumes serão os mesmos, independentemente da geometria obtida pela deformação na segunda pilha de moedas, uma vez que são utilizadas moedas do mesmo formato e quantidades iguais para cada pilha.

          Esses resultados, ligeiramente generalizados, fornecem os chamados Princípios de Cavalieri, que podem ser enunciados como:

a). Se duas porções planas são tais que toda reta secante a elas e paralela a uma reta dada determina nas porções segmentos de reta cuja razão é constante, então, a razão entre as áreas dessas porções é a mesma constante. E isso nos leva a dizer que as áreas das duas porções são iguais.

b). Se dois sólidos são tais que todo plano secante a eles e paralelo a um plano dado determina nos sólidos secções cuja razão é constante, então a razão entre os volumes desses sólidos é a mesma constante. Em outras palavras: dois sólidos com a mesma altura têm o mesmo se seccionados por um plano paralelo ao plano onde estão assentados, geram áreas iguais.