Tales de Mileto Eudoxo de Cnidos

Seminário de áreas e volumes

Tales de Mileto

          Thalès (grego θαλες Thalễs), chamado Tales de Mileto, é o primeiro filósofo ocidental de que se tem notícia. De ascendência fenícia, nasceu em Mileto, antiga colônia grega, na Ásia menor, atual Turquia, por volta de 625 a.C. e faleceu aproximadamente em 547 a.C. - segundo o historiador grego Diógenes Laércio, morreu com 78 anos . Matemático, astrônomo, e grande pensador, Tales de Mileto percorreu o Egito, onde realizou estudos.

          É atribuída a ele a previsão de um eclipse do Sol, no ano de 585 a.C. Também realizou uma façanha incrível: seu talento matemático era tão incomum, que conseguiu estabelecer com precisão a altura das pirâmides apenas medindo-lhes a sua sombra.

Os fatos geométricos cuja descoberta é atribuída a Tales são:

Ø  A demonstração de que os ângulos da base de dois triângulos isósceles são iguais;

Ø  A demonstração do seguinte teorema: se dois triângulos tem dois ângulos e um lado respectivamente iguais, então são iguais;

Ø  A demonstração de que todo diâmetro divide um círculo em duas partes iguais;

Ø  A demonstração de que ao unir-se qualquer ponto de uma circunferência aos extremos de um diâmetro AB obtém-se um triângulo retângulo em C. Provavelmente, para demonstrar este teorema, Tales usou também o fato de que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a dois retos;

Ø  Tales chamou a atenção de seus conterrâneos para o fato de que se duas retas se cortam, então os ângulos opostos pelo vértice são iguais.

Eudoxo de Cnidos

- 408 AC em Cnidos (península Resadiye), Ásia Menor (atual Turquia)

- 355 AC em Cnidos, Ásia Menor (atual Turquia)

          Eudoxo fez importantes contribuições para a teoria da proporção, criando uma definição que permitia a comparação de comprimentos irracionais de maneira análoga à multiplicação em cruz hoje existente. Uma das grandes dificuldades da Matemática naquele tempo era o fato de que certos comprimentos não são comparáveis. O método de comparar dois comprimentos x e y procurando um comprimento t tal que x = m.t e y = n.t para m e n inteiros não funcionava para segmentos de comprimentos 1 e 2, como mostrado pelo Teorema de Pitágoras.

          Eudoxo resolveu o problema de comprimentos irracionais no sentido de que agora poderiam ser comparados comprimentos de qualquer natureza, irracionais ou não.

          Outra contribuição de Eudoxo digna de nota foi seu trabalho em integração usando seu método da exaustão. Este trabalho emergiu diretamente de sua teoria de proporções, já que ele agora era capaz de comparar números irracionais. Este trabalho também se baseou em ideias mais antigas de aproximação da área do círculo por polígonos inscritos com um número crescente de lados (Antífon). Eudoxo formalizou a teoria de Antífon, provando rigorosamente os teoremas, anteriormente apresentados por Demócrito:

          O volume de uma pirâmide é um terço do volume do prisma de mesmas base e altura.

          O volume de um cone é um terço do volume do cilindro com mesmas base e altura.

           Arquimedes atribuiu a prova destes teoremas a Eudoxo em seu trabalho Sobre a esfera e o cilindro e naturalmente Arquimedes usou o método de exaustão de Eudoxo para provar um conjunto memorável de teoremas.

          Não podemos deixar de mencionar aqui o trabalho que talvez tenha tornado Eudoxo famoso, acerca de teoria planetária e publicado no livro Sobre velocidades, atualmente perdido. Eudoxo foi grandemente influenciado pela filosofia Pitagórica através de seu mestre Arquitas, criando um sistema planetário inteiramente baseado em esferas (considerada por Pitágoras a forma perfeita).

                    Observando o diagrama abaixo, suponha que tenhamos duas esferas S1 e S2 de mesmo raio, o eixo XY de S1 sendo o diâmetro da esfera S2. Conforme S2 rotaciona sobre o eixo AB, então o eixo XY de S1 rotaciona  com ela. Se as duas esferas rotacionam com velocidades angulares constantes, porém opostas, então o ponto P no equador de S1 descreve um curva com formato de "8". Esta curva recebe o nome de hipopédia.

           Eudoxo usou esta construção e considerou um planeta com sendo o ponto P "passeando" pela curva. Ele introduziu uma terceira esfera que correspondia ao movimento geral do planeta contra o fundo de estrelas, enquanto o movimento da hipopédia reproduzia o movimento retrógrado. Este sistema com três esferas era ainda inserido em uma quarta esfera, que reproduzia o movimento rotatório diário das estrelas.

          Certamente o modelo não representa as verdadeiras trajetórias dos planetas, mesmo com um nível mínimo de precisão. De qualquer modo, talvez seja uma tendência moderna imaginar como Eudoxo desenvolveu uma teoria tão complexa sem testá-la com dados experimentais.

           O método da exaustão tornou-se o modelo grego e do Renascimento nas demonstrações de cálculo de áreas e volumes, era muito rigoroso e pode ser facilmente traduzido numa prova que satisfaça as exigências da análise moderna. Tinha a desvantagem de o resultado, para ser provado, precisar ser conhecido antes.

Sequências

Observe as figuras abaixo, do lado esquerdo, note que existe uma sequência  entre elas. Assim, a figura que substitui corretamente a interrogação é: 

Como Pode?

Como é que pode? Um homem foi à cidade com R$ 5,00 no bolso, mas retornou à noite com R$ 15,00, tendo descontado um cheque no banco. Ele comprou um chapéu e algumas bananas no mercado. Foi, também, ao oftalmologista. Sabendo que ele era pago por cheque todas as quintas feiras e que os bancos só abrem às terças, quartas e sábados e que o oftalmologista fecha aos sábados e o mercado está fechado nas quartas feiras e quintas feiras, qual o dia em que ele foi à cidade ?

A herança do fazendeiro

Um fazendeiro deixou como herança para seus quatro filhos, um terreno em forma de um quadrado no qual havia mandado plantar 12 árvores. O terreno devia ser dividido em quatro partes geometricamente iguais, contendo cada uma delas o mesmo número de árvores. Como deve ser feita a divisão. Abaixo um esquema de como o terreno se apresenta.

Resposta:

Aqui está como deve ser feita a divisão de acordo com a vontade do fazendeiro.

  

A nota de 100

Um indivíduo entrou numa sapataria e comprou um par de sapatos por R$ 60,00, entregando, em pagamento, uma nota de R$ 100,00.

O sapateiro, que no momento não dispunha de troco, mandou que um de seus funcionários, fosse trocar a nota numa confeitaria próxima. Recebido o dinheiro, deu ao freguês o troco e o par de sapatos que havia sido adquirido.

Momentos depois, surgiu o dono da confeitaria exigindo a devolução de seu dinheiro: a nota era falsa! E o sapateiro viu-se forçado a devolver os R$ 100,00 que havia recebido.

Surge, afinal, a dúvida: qual foi o prejuízo que o sapateiro teve nesse complicado negocio?

Resposta:

A resposta é simples e fácil. Muita gente, porém, ficará embaraçada sem saber como esclarecer a questão.

O prejuízo do sapateiro foi de R$ 40,00 e um par de sapatos.

Desafios

Casamento
Como foi que José Carlos conseguiu casar-se com a irmã de sua viúva ?


Resposta


Primeiro casou-se com a irmã, depois com aquela com que viria a se tornar sua viúva.

Bonaventura Cavalieri

Cavallieri, Bonaventura(1598-1647)     Matemático Italiano. Foi professor da Universidade de Bolonha. Os seus estudos de geometria suscitaram a admiração de Galileu, que lhe chamou "álter Arquimedes".

2.4.1- Os princípios de Cavalieri para cálculos de áreas e volumes

          Bonaventura Cavalieri nasceu em Milão em 1.598. Foi aluno de Galileu e atuou como professor da Universidade de Bolonha de 1.629 até 1.647, ano de sua morte.

          A grande contribuição de Cavalieri à Matemática é a tratada Geometria indivisibilibus de 1.635. Neste tratado é apresentado o seu método dos indivisíveis, cuja motivação direta se encontra nas tentativas de Kepler de achar certas áreas e certos volumes.

          No entanto, é um pouco difícil de descobrir o que ele entendia por “indivisível”. Tudo indica que um indivisível de uma porção plana dada é uma corda dessa porção e o indivisível de um sólido é uma secção desse sólido. Considera-se que uma porção plana seja formada por infinitas cordas paralelas. Então, argumentava Cavalieri, fazendo deslizar cada um dos elementos do conjunto das cordas paralelas de uma porção plana dada ao longo de seu próprio eixo, de modo que as extremidades das cordas ainda descrevam um contorno contínuo, a área da nova porção plana é igual à original, uma vez que ambas são formadas pelas mesmas cordas.

          Um procedimento análogo pode ser aplicado a um sólido, formado por secções planas e paralelas. Que fornecerá um novo sólido com mesmo volume. Uma ilustração deste resultado pode ser demonstrada utilizando duas pilhas de moedas de mesmo formato: a primeira pilha fazendo um cilindro reto e a segunda com suas laterais deformadas:

[Figura 1: sólidos com moedas]

          Obviamente que os volumes serão os mesmos, independentemente da geometria obtida pela deformação na segunda pilha de moedas, uma vez que são utilizadas moedas do mesmo formato e quantidades iguais para cada pilha.

          Esses resultados, ligeiramente generalizados, fornecem os chamados Princípios de Cavalieri, que podem ser enunciados como:

a). Se duas porções planas são tais que toda reta secante a elas e paralela a uma reta dada determina nas porções segmentos de reta cuja razão é constante, então, a razão entre as áreas dessas porções é a mesma constante. E isso nos leva a dizer que as áreas das duas porções são iguais.

b). Se dois sólidos são tais que todo plano secante a eles e paralelo a um plano dado determina nos sólidos secções cuja razão é constante, então a razão entre os volumes desses sólidos é a mesma constante. Em outras palavras: dois sólidos com a mesma altura têm o mesmo se seccionados por um plano paralelo ao plano onde estão assentados, geram áreas iguais.

Heron de Alexandria

Heron de Alexandria (também escrito como Hero e Herão, 10 d.C. – 70 d.C)        Inventor, matemático, físico e escritor grego, possivelmente nascido em Alexandria, no Egito, que realizou excelentes trabalhos em Física, Mecânica e Geometria, sendo-lhe creditada por alguns autores, a fórmula que permite calcular a área da região limitada por um triângulo conhecidos seus três lados .

2.5.1- Uma Demonstração da fórmula de  Heron.

          Heron de é o responsável por elaborar uma fórmula matemática que calcula a área de um triângulo em função da medida de seus três lados.

        A fórmula de Heron é muito útil nos casos em que não sabemos a altura do triângulo, mas temos as medidas dos lados. Em um triângulo com lados medindo a,b,e,c podemos calcular sua respectiva área usando á fórmula de Heron:

      A conhecida fórmula de Heron, a saber, é: S =  em que a, b e c são lados de um triângulo e p é o seu semiperímetro, pode ser provada de diversas maneiras. Dentre elas, eis, ainda que artificiosa,  uma das mais belas:

Arquimedes de Siracusa

Arquimedes de Siracusa

287 AC em Siracusa, Sicília

212 AC em Siracusa, Sicília

        O maior matemático do período helenístico e de toda a antiguidade, filho do astrônomo Fídeas, era nativo de Siracusa, na Sicília. Há relatos de sua visita ao Egito, onde inventou um sistema de bombeamento chamado Parafuso de Arquimedes, em uso ainda hoje. As mais importantes contribuições de Arquimedes na Matemática foram feitas no domínio daquilo a que agora chamamos "Cálculo Integral" - teoremas sobre áreas e figuras planas e sobre volumes de corpos sólidos. No livro de Arquimedes sobre "A esfera e o cilindro" encontramos a expressão para a área da esfera (apresentando como sendo quatro vezes a de um circulo máximo). A expressão de Arquimedes para a área de um segmento parabólico (quatro terços da área de um triângulo inscrito com  mesma base que o segmento da parábola e cujo vértice é o ponto onde a tangente à parábola é paralela à base). 

       Em todos estes trabalhos, Arquimedes combinou uma originalidade de raciocínio surpreendente com uma mestria de técnica de cálculo e rigor na demonstração. É característico desse rigor o "axioma de Arquimedes" e o uso correto do método da exaustão para provar os resultados das suas integrações.  Arquimedes diferia da maior parte dos matemáticos gregos pela sua capacidade de cálculo.

           Há indícios muito fortes de que em sua juventude, Arquimedes tenha estudado com os sucessores de Euclides, em Alexandria. Com certeza ele era completamente familiarizado com a Matemática lá desenvolvida, conhecendo pessoalmente os matemáticos daquela região.

          Mesmo tendo Arquimedes obtido fama por suas invenções mecânicas, ele acreditava que a Matemática em sua forma mais pura era a única coisa que valia a pena.

          As conquistas de Arquimedes são de tirar o fôlego. Ele é considerado por muitos historiadores como um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Ele chegou a aperfeiçoar um método de integração que permitia calcular áreas, volumes e áreas de superfícies de muitos corpos.

         No primeiro volume de Sobre a esfera e o cilindro Arquimedes mostra que a superfície de uma esfera é quatro vezes a do grande círculo, acha a área de qualquer segmento da esfera, mostra que o volume de uma esfera é dois terços do volume do cilindro circunscrito, e que a superfície da esfera é dois terços da superfície do cilindro circunscrito, incluindo-se as bases.

          Em Medidas do círculo Arquimedes mostra que o valor exato de   situa-se entre 3¹⁰/₇₁ e 3¹/₇. Ele obteve este resultado circunscrevendo e inscrevendo um círculo com polígonos regulares com 96 lados!

          Há referências a outros trabalhos de Arquimedes, que estão hoje perdidos. Pappus refere-se a um trabalho de Arquimedes sobre poliedros semi-regulares e o próprio Arquimedes refere-se a um trabalho sobre o sistema numérico proposto no Contador de areia. O Contador de areia é um trabalho memorável em que Arquimedes propõe um sistema numérico capaz de expressar números até 8x10¹⁶ (em notação moderna). Seu argumento é de que este número seria suficiente para contar o número de grãos de areia do Universo. Bem, naturalmente Arquimedes enfrentou o problema anterior: o tamanho do Universo. Quando cita resultados acerca do tamanho do Universo, ele usa resultados de Euxodo, Fídias (seu pai) e Aristarco.

§  Sobre as Medidas do Círculo

Trata-se de uma obra curta consistindo de apenas três proposições. Está escrito na forma de uma correspondência com Dositeu de Pelúsio, um aluno de Conon de Samos. Na Proposição II, Arquimedes mostra que o valor de π (pi) é maior que ²²³⁄₇₁ e menor que ²²⁄₇. Este último valor foi usado como uma aproximação de π ao longo da Idade Média e ainda é usado quando um valor aproximado de π é suficiente.

§  Sobre a Esfera e o Cilindro (dois volumes)

Neste tratado endereçado a Dositeu, Arquimedes obtém o resultado pelo qual ele mais se orgulhava, nomeadamente a relação entre uma esfera e um cilindro circunscrito de mesma altura e diâmetro. O volume é ⁴⁄₃πr³ para a esfera, e 2πr³ para o cilindro. A área superficial é 4πr² para a esfera, e 6πr² para o cilindro (incluindo suas duas bases), onde r é o raio da esfera e do cilindro. A esfera tem um volume que é dois terços do volume do cilindro circunscrito. De forma similar, a esfera tem uma área que é dois terços da área do cilindro circunscrito (incluindo as bases). A pedido do próprio Arquimedes, foram colocadas sobre sua tumba esculturas destas duas figuras geométricas.

          Arquimedes foi capaz de aplicar o método da exaustão, que é uma forma primitiva de integração, para obter uma vasta gama de resultados importantes, alguns dos quais chegaram até os dias de hoje.

         Arquimedes morreu em circa. 212 A.C. durante a Segunda Guerra Púnica, quando forças romanas sob o comando do General Marco Cláudio Marcelo capturaram a cidade de Siracusa após um cerco de dois anos. Existem diversas versões sobre sua morte. De acordo com o relato dado por Plutarco, Arquimedes estava contemplando um diagrama matemático quando a cidade foi capturada. Um soldado romano ordenou que ele fosse conhecer General Marcelo, mas ele se recusou, dizendo que ele tinha que terminar de trabalhar no problema. O soldado ficou furioso com isso, e matou Arquimedes com sua espada. Plutarco também oferece um relato menos conhecido da morte de Arquimedes, que sugere que ele pode ter sido morto enquanto tentava se render a um soldado romano. De acordo com essa história, Arquimedes estava carregando instrumentos matemáticos, e foi morto porque o soldado pensou que fossem itens valiosos. General Marcelo teria ficado irritado com a morte de Arquimedes, visto que o considerava uma posse científica valiosa, e tinha ordenado que ele não fosse ferido.

          As últimas palavras atribuídas a Arquimedes são "Não perturbe meus círculos" (em grego: μή μου τούς κύκλους τάραττε), uma referência aos círculos no desenho matemático que ele estaria estudando quando perturbado pelo soldado romano. Esta citação é muitas vezes dada em Latim como "Noli turbare circulos meos," mas não há nenhuma evidência confiável de que Arquimedes pronunciou estas palavras e eles não aparecem no relato dado por Plutarco.

          O túmulo de Arquimedes continha uma escultura ilustrando sua demonstração matemática favorita, consistindo de uma esfera e um cilindro de mesma altura e diâmetro. Arquimedes tinha provado que o volume e a área da superfície da esfera são dois terços da do cilindro incluindo suas bases. Em 75 a.C, 137 anos após sua morte, o orador romano Cícero estava trabalhando como questor na Sicília. Ele tinha ouvido histórias sobre o túmulo de Arquimedes, mas nenhum dos moradores foi capaz de lhe dar a localização. Após algum tempo, ele encontrou o túmulo próximo ao Portão de Agrigentino em Siracusa, em condição negligênciada e coberto de arbustos. Cícero limpou o túmulo, e foi capaz de ver a escultura e ler alguns dos versos que haviam sido adicionados como inscrição.

Arquimedes (287-212 a.c.)    Matemático e físico, nascido em Siracusa. Formulou o princípio da hidrostática, que tem o seu nome. Inventou vários aparelhos, entre os quais o parafuso de Arquimedes (que é uma superfície helicoidal que roda o interior de um tubo cilíndrico e serve para elevar líquidos ou transportar materiais granulosos) e os espelhos mortíferos .   Efetuou um grande número de estudos na matemática e física, com especial incidência na mecânica.

      Com o terceiro grande matemático helenístico, Apolônio de Perga (250-205 a.C.), encontramo-nos de novo inteiramente na geometria tradicional. Escreveu um tratado sobre a elipse, a parábola e a hiperbole, introduzidas como secções de um cone circular e, vai até à discussão das evolutas de cônicas. Conhecemos estas cônicas pelos nomes encontrados em Apolônio, referem-se a certas propriedades das áreas dessas curvas.

2.3.1- ARQUIMEDES E O MÉTODO DA EXAUSTÃO

           O método de exaustão, utilizado por Eudóxio e depois por Arquimedes, é conhecido também por axioma de Arquimedes.

           Coube a Arquimedes a primeira demonstração rigorosa da lei estabelecida entre a área do círculo e o comprimento da circunferência, famoso problema da antiguidade, conhecido como a quadratura do círculo, problema este que vai dar origem ao desenvolvimento da teoria da integração.

         A determinação de áreas de figuras planas fazia-se, na matemática grega, por comparação com áreas conhecidas, como por exemplo a área do quadrado. Quadratura era o nome que se dava a essa determinação. Medir uma figura geométrica, para os geómetras gregos, não era encontrar um número, mas sim uma figura conhecida com o mesmo comprimento, área ou volume da primeira. Nessa perspectiva, calcular a medida de uma área era um falso problema. O que interessava aos Gregos, no quadro das suas matemáticas, era determinar a relação entre duas áreas. A quadratura do círculo insere-se nessa preocupação. Este problema ficou famoso porque a sua solução, que não existe, obcecou não só os Gregos como também matemáticos de todos os tempos, profissionais e amadores. Só em 1882, quando Ferdinand von Lindemann (1852-1939) demonstrou que pi é um número transcendente, ficou provado que a quadratura do círculo é impossível.

         Para calcular a área do círculo, Arquimedes considera polígonos inscritos de número de lados 6, 12,...96. Faz o mesmo com polígonos circunscritos e consegue assim mostrar que a área do círculo está entre dois valores determinados, ou seja, é menor que a dos polígonos circunscritos e maior que a dos polígonos inscritos.

         O resultado de Arquimedes, descrito na matemática actual equivale a considerar que:

          O método da exaustão é o fundamento de um dos processos essenciais do cálculo infinitesimal. No entanto, enquanto que no cálculo se soma um número infinito de parcelas (no caso do círculo teríamos um polígono com um número infinito de lados), Arquimedes nunca considerou que as somas tivessem uma infinidade de termos. Para poder definir a soma de uma série infinita irá ser necessário desenvolver o conceito de número real que os gregos não possuíam. Não é pois correto falar do método de Arquimedes como um processo geométrico de passagem ao limite. A noção de limite pressupõe a consideração do infinito que esteve sempre excluído da matemática grega, mesmo em Arquimedes. Mas, no entanto o seu trabalho foi, provavelmente, o mais forte incentivo para o desenvolvimento posterior das ideias de limite e de infinito. De fato, os trabalhos de Arquimedes constituem a principal fonte de inspiração para a geometria do séc. XVII que desempenhou um papel importante no desenvolvimento do cálculo infinitesimal.

          Apesar da grande originalidade dos trabalhos de Arquimedes, ele não teve discípulos diretos na Grécia. Mas os matemáticos árabes interessaram-se pelo método da exaustão desde o séc. IX. Os irmãos Bana Musa usam-no pela primeira vez na literatura islâmica. O seu discipulo Thabit ibn Qurra (836-901) traduz “A esfera e o cilindro” de Arquimedes e na sua obra “Livro sobre a medida da secção cónica” mostra dominar perfeitamente o método