Tales de Mileto
Thalès (grego
θαλες Thalễs), chamado Tales de Mileto, é o primeiro
filósofo ocidental de que se tem notícia. De ascendência fenícia, nasceu em
Mileto, antiga colônia grega, na Ásia menor, atual Turquia, por volta de 625
a.C. e faleceu aproximadamente em 547 a.C. - segundo o historiador grego
Diógenes Laércio, morreu com 78 anos . Matemático, astrônomo, e grande
pensador, Tales de Mileto percorreu o Egito, onde realizou estudos.
É atribuída a ele a previsão de um
eclipse do Sol, no ano de 585 a.C. Também realizou uma façanha incrível: seu
talento matemático era tão incomum, que conseguiu estabelecer com precisão a
altura das pirâmides apenas medindo-lhes a sua sombra.
Os fatos
geométricos cuja descoberta é atribuída a Tales são:
Ø A demonstração de que os ângulos da base de
dois triângulos isósceles são iguais;
Ø A demonstração do seguinte teorema: se dois
triângulos tem dois ângulos e um lado respectivamente iguais, então são iguais;
Ø A demonstração de que todo diâmetro divide um
círculo em duas partes iguais;
Ø A demonstração de que ao unir-se qualquer
ponto de uma circunferência aos extremos de um diâmetro AB obtém-se um
triângulo retângulo em C. Provavelmente, para demonstrar este teorema, Tales
usou também o fato de que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a dois
retos;
Ø Tales chamou a atenção de seus conterrâneos
para o fato de que se duas retas se cortam, então os ângulos opostos pelo
vértice são iguais.
Eudoxo de Cnidos
- 408 AC em Cnidos
(península Resadiye), Ásia Menor (atual Turquia)
- 355 AC em Cnidos, Ásia
Menor (atual Turquia)
Eudoxo fez importantes contribuições para a teoria da proporção, criando
uma definição que permitia a comparação de comprimentos irracionais de maneira
análoga à multiplicação em cruz hoje existente. Uma das grandes dificuldades da
Matemática naquele tempo era o fato de que certos comprimentos não são
comparáveis. O método de comparar dois comprimentos x e y procurando um comprimento t tal que x = m.t e y = n.t
para m e n inteiros não funcionava para segmentos
de comprimentos 1 e 2, como mostrado pelo Teorema de Pitágoras.
Eudoxo resolveu o problema de comprimentos irracionais no sentido de que
agora poderiam ser comparados comprimentos de qualquer natureza, irracionais ou
não.
Outra contribuição de Eudoxo digna de nota foi seu trabalho em
integração usando seu método da exaustão. Este trabalho emergiu diretamente de
sua teoria de proporções, já que ele agora era capaz de comparar números
irracionais. Este trabalho também se baseou em ideias mais antigas de
aproximação da área do círculo por polígonos inscritos com um número crescente
de lados (Antífon). Eudoxo formalizou a teoria de Antífon, provando
rigorosamente os teoremas, anteriormente apresentados por Demócrito:
O volume de uma pirâmide é um terço
do volume do prisma de mesmas base e altura.
O volume de um cone é um terço do
volume do cilindro com mesmas base e altura.
Arquimedes atribuiu a prova destes
teoremas a Eudoxo em seu trabalho Sobre a esfera e o cilindro e naturalmente Arquimedes usou o
método de exaustão de Eudoxo para provar um conjunto memorável de teoremas.
Não podemos deixar de mencionar aqui o trabalho que talvez tenha tornado
Eudoxo famoso, acerca de teoria planetária e publicado no livro Sobre
velocidades, atualmente perdido. Eudoxo foi grandemente
influenciado pela filosofia Pitagórica através de seu mestre Arquitas, criando
um sistema planetário inteiramente baseado em esferas (considerada por
Pitágoras a forma perfeita).
Observando o diagrama abaixo, suponha que
tenhamos duas esferas S1 e S2 de mesmo raio, o eixo XY de S1 sendo o diâmetro
da esfera S2. Conforme S2 rotaciona sobre o eixo AB, então o eixo XY de S1 rotaciona
com ela. Se as duas esferas rotacionam
com velocidades angulares constantes, porém opostas, então o ponto P no equador
de S1 descreve um curva com formato de "8". Esta curva recebe o nome
de hipopédia.
Eudoxo usou esta construção e considerou um
planeta com sendo o ponto P "passeando" pela curva. Ele introduziu
uma terceira esfera que correspondia ao movimento geral do planeta contra o
fundo de estrelas, enquanto o movimento da hipopédia reproduzia o movimento
retrógrado. Este sistema com três esferas era ainda inserido em uma quarta
esfera, que reproduzia o movimento rotatório diário das estrelas.
Certamente
o modelo não representa as verdadeiras trajetórias dos planetas, mesmo com um
nível mínimo de precisão. De qualquer modo, talvez seja uma tendência moderna
imaginar como Eudoxo desenvolveu uma teoria tão complexa sem testá-la com dados
experimentais.
O método da exaustão tornou-se o modelo grego e do Renascimento nas
demonstrações de cálculo de áreas e volumes, era muito rigoroso e pode ser
facilmente traduzido numa prova que satisfaça as exigências da análise moderna.
Tinha a desvantagem de o resultado, para ser provado, precisar ser conhecido
antes.
